Temas de mecánica geométrica y geometría en espacios de Banach - Grillo, Sergio Daniel (2019)

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Este proyecto consiste de dos subproyectos cuyo denominador común es la geometría. (a). (Mecánica Geométrica) Estudiaremos los sistemas con vínculos de orden superior (HOCSs = higher order constrained systems), concentrándonos principalmente en los siguientes aspectos: i. ecuación de Hamilton-Jacobi e integrabilidad; ii. aplicaciones a la estabilización asintótica. (i). Nos enfocaremos en una extensión de la teoría de Hamilton-Jacobi a los HOCSs. En particular, analizaremos la manera en que las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada a cada HOCS contribuyen a la resolución completa, i.e. a la integrabilidad, de las ecuaciones de movimiento del HOCS en cuestión. (ii). Abordaremos el estudio de un método de estabilización asintótica de sistemas mecánicos subactuados que se basa en la imposición de vínculos de orden 2: los vínculos de Lyapunov, los cuales aseguran la existencia de una función de Lyapunov para el sistema mecánico considerado. (Se trata de una continuación del proyecto 06/C503 de la SeCTyP 2016-2018, en el cual también se han abordado los puntos de arriba, pero han dejado tareas pendientes.) (b). (Espacios de Banach) En otra línea de investigación, abordaremos el estudio de resultados cuantitativos sobre densidad de funciones que alcanzan la norma. Específicamente, se estudiarán versiones locales del teorema de Bishop-Phelps-Bollobás surgidas recientemente a partir de dos caracterizaciones de dos propiedades geométricas en espacios de Banach: la convexidad uniforme y la suavidad uniforme. Abordaremos el estudio de estas propiedades locales en el contexto multilineal y polinomial.